圆锥曲线杂记

垂径定理/第三定义

垂径定理：对于有心圆锥曲线，一条直线交其于 $A, B$ 两点，$A, B$ 中点为 $M$，则 $k_{OM} \cdot k_{AB} = e^2 - 1$。

证明：设 $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$。

$$\frac{x_1^2}{a^2} \pm \frac{y_1^2}{b^2} = 1 \\ \frac{x_2^2}{a^2} \pm \frac{y_2^2}{b^2} = 1 \\$$

相减得

$$\frac{(x_1+x_2)(x_1-x_2)}{a^2} \pm \frac{(y_1+y_2)(y_1-y_2)}{b^2} = 0 \implies \\ \frac{y_1 + y_2}{x_1 + x_2} \cdot \frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2} = \mp \frac{b^2}{a^2} \implies \\ k_{OM} \cdot k_{AB} = e^2 - 1$$

注意推导过程中把 $1$ 改成 $0$ 就变成了两点在渐近线上，结论一样。

推论：对于曲线上另外一点 $P$,$k_{AP}\cdot k_{BP} = e^2 - 1$。

证明：取 $AP$ 中点 $Q$，$k_{AP}\cdot k_{OQ} = e^2 - 1$。$OQ // BP$。

手电筒模型/平移坐标系

手电筒模型：圆锥曲线上一点 $P(x_0, y_0)$ 引出两条直线交圆锥曲线于 $A, B$ 两点，则两直线斜率 $k_1, k_2$ 有特殊性质。

设 $x' = x - x_0, y' = y - y_0$。

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \implies \\ \frac{(x' + x_0)^2}{a^2} + \frac{(y' + y_0^2)}{b^2} = 1 \implies \\ b^2x'^2 + 2x_0b^2x' + a^2y'^2 + 2y_0a^2y' = 0$$

设 $AB: mx' + ny' = 1$。

$$b^2x'^2 + 2x_0b^2x'(mx' + ny') + a^2y'^2 + 2y_0a^2y'(mx' + ny') = 0 \implies \\ (b^2 + 2x_0b^2m)x'^2 + (2x_0b^2n + 2y_0a^2m)x'y' + (a^2 + 2y_0a^2n)y'^2 = 0 \implies \\ (a^2 + 2y_0a^2n)k^2 + (2x_0b^2n + 2y_0a^2m)k + (b^2 + 2x_0b^2m) = 0 \implies \\ k_1k_2 = \frac{b^2 + 2x_0b^2m}{a^2 + 2y_0a^2n}, k_1 + k_2 = -\frac{2x_0b^2n + 2y_0a^2m}{a^2 + 2y_0a^2n}$$

显然平移不止可以用到这种地方，适当平移也可以简化运算。如把坐标平移到某个点后过该点的直线可以表示为 $y' = kx'$。

对于斜率相关问题，可以考虑这个做法。

焦点三角形

对于焦点三角形 $\triangle PF_1F_2$，设 $\angle F_1PF_2 = \theta, |PF_1| = n, |PF_2| = m$

面积

对于椭圆：

$$(2c)^2 = m^2 + n^2 - 2mn\cos\theta \implies \\ \cos\theta = \frac{m^2 + n^2 - 4c^2}{2mn} = \frac{(m + n)^2 - 2mn - 4c^2}{2mn} = \frac{2b^2}{mn} - 1 \implies \\ mn = \frac{2b^2}{\cos\theta + 1} \\ S_{\triangle PF_1F_2} = \frac{1}{2} mn \sin\theta = b^2\frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} = b^2\tan\frac{\theta}{2}$$

对于双曲线：

$$(2c)^2 = m^2 + n^2 - 2mn\cos\theta \implies \\ \cos\theta = \frac{m^2 + n^2 - 4c^2}{2mn} = \frac{(m - n)^2 + 2mn - 4c^2}{2mn} = -\frac{2b^2}{mn} + 1 \implies \\ mn = \frac{2b^2}{1 - \cos\theta} \\ S_{\triangle PF_1F_2} = \frac{1}{2} mn \sin\theta = b^2\frac{\sin\theta}{1 - \cos\theta} = b^2/\tan\frac{\theta}{2}$$

内接圆

对于椭圆：

$$n - m = |F_1H| - |F_2H| = (x_I + c) - (c - x_I) = 2x_I \\ n - m = (a + ex_0) - (a - ex_0) = 2ex_0 \\ x_I = ex_0 \\$$

$$S_{\triangle PF_1F_2} = c|y_0| \\ S_{\triangle PF_1F_2} = S_{\triangle PF_1I} + S_{\triangle PF_2I} + S_{\triangle F_1F_2I} = (a + c)y_I \\ y_I = \frac{ey_0}{1 + e}$$