群论从入门到入不了门

学习笔记
3.7k 词

前置知识

笛卡尔积

对于两个集合 X,YX, Y，定义它们的笛卡尔积为 X×Y={(x,y)∣x∈X,y∈Y}X \times Y = \{(x, y) \mid x \in X, y \in Y\}。
对于任意集合 AA，定义 A1=AA ^ 1 = A，An=An−1×A(n∈N,n>1)A ^ n = A ^ {n - 1} \times A(n \in \N, n > 1)。

二元关系

对于两个集合 X,YX, Y，定义 XX 到 YY 的二元关系 RR 为 X×YX \times Y 的子集。对于 x∈X,y∈Yx \in X, y \in Y，记 xRyx\mathrel{R}y 当且仅当 (x,y)∈R(x, y) \in R。
如果 Y=XY = X，则可以称 RR 是 XX 上的二元关系。

等价关系

对于集合 XX 上的二元关系 RR，定义其为等价关系，当且仅当其满足：

  • 自反性（reflexive）：∀x∈X,xRx\forall x \in X, x\mathrel{R}x。
  • 对称性（symmetric）：∀x,y∈x,xRy  ⟺  yRx\forall x, y \in x, x\mathrel{R}y \iff y\mathrel{R}x。
  • 传递性（transitive）：∀x,y,z∈X,xRy,yRz  ⟹  xRz\forall x, y, z \in X, x\mathrel{R}y, y\mathrel{R}z \implies x\mathrel{R}z。

等价关系通常用符号 ∼\sim 表示。

等价类

定义 XX 上的等价关系 ∼\sim 上的一个等价类 SS 满足 S≠∅,S⊆XS \ne \varnothing, S \subseteq X，并且 ∀x∈S,y∈X,x∼y  ⟺  y∈S\forall x \in S, y \in X, x \sim y \iff y \in S。

设 S1,S2S _ 1, S _ 2 为 XX 的两个等价类，则它们要么相等，要么不交。即 S1∩S2≠∅  ⟹  S1=S2S _ 1 \cap S _ 2 \ne \varnothing \implies S _ 1 = S _ 2。

划分

定义集合 XX 的一个划分 P(x)P(x) 为 XX 子集的集合，满足：

  • ⋃x∈P(x)x=X\bigcup _ {x \in P(x)} x = X。
  • ∀x,y∈P(x),x≠y  ⟹  x∩y=∅\forall x, y \in P(x), x \ne y \implies x \cap y = \varnothing。

显然 ∀x∈X\forall x \in X，存在唯一一个 y∈P(x)y \in P(x)，使得 x∈yx \in y。

设 X/∼X / \sim 表示 XX 在等价关系 ∼\sim 上的等价类的集合，X/∼X / \sim 是 XX 的一个划分。

证明：

第二部分已经证明，现在只需要证明第一部分。
只需证 ∀x∈X,∃y∈X/∼,x∈y\forall x \in X, \exist y \in X / \sim, x \in y。
构造 y={z∣z∈X,x∼z}y = \{z \mid z \in X, x \sim z\}，显然 x∈zx \in z。

  • ∀a∈y,b∈X,a∼b\forall a \in y, b \in X, a \sim b，有 a∼xa \sim x。根据等价关系的传递性，x∼bx \sim b，所以 b∈yb \in y。
  • ∀a∈y,b∈y\forall a \in y, b \in y，有 a∼x,x∼ba \sim x, x \sim b，所以 a∼ba \sim b。

因此 yy 是一个合法的等价类。

□\square

根据划分的性质，∀x∈X\forall x \in X，有且仅有一个 y∈P(X)y \in P(X) 满足 x∈yx \in y，记为 [x][x]，即 [x]=y={z∣z∈X,x∼z}[x] = y = \{z \mid z \in X, x \sim z\}。可以发现 ∀x,y∈X,x∼y  ⟺  [x]=[y]\forall x, y \in X, x \sim y \iff [x] = [y]。

群论

基础定义

对于集合 G≠∅G \ne \varnothing 和 GG 上的二元运算 ⋅\cdot，如果其满足封闭性（∀a,b∈G,a⋅b∈G\forall a, b \in G, a \cdot b \in G），则称 (G,⋅)(G, \cdot) 是一个原群。

无歧义时，可以将 a⋅ba \cdot b 写作 abab，将 (G,⋅)(G, \cdot) 写作 GG。

若原群 (G,⋅)(G, \cdot) 满足结合律（∀a,b,c∈G,(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)\forall a, b, c \in G, (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)），则称其是一个半群。

若半群 (G,⋅)(G, \cdot) 存在 单位元 / 幺元（∃e∈G,∀g∈G,e⋅g=g⋅e=g\exist e \in G, \forall g \in G, e \cdot g = g \cdot e = g），则称其是一个幺半群。无歧义时 ee 专指幺元。

若幺半群 (G,⋅)(G, \cdot) 的每个元素都存在逆元（∀a∈G,∃b∈G,a⋅b=b⋅a=e\forall a \in G, \exist b \in G, a \cdot b = b \cdot a = e），则称其是一个群，记元素 aa 的逆元为 a−1a ^ {-1}。

若群 (G,⋅)(G, \cdot) 的运算 ⋅\cdot 满足交换律（∀a,b∈G,a⋅b=b⋅a\forall a, b \in G, a \cdot b = b \cdot a），则称其是一个交换群 / 阿贝尔群。

定义一个原群 (G,⋅)(G, \cdot) 的势 / 阶为集合 GG 的势，若 GG 是有限的，则其等于 ∣G∣|G|。

无歧义时，对于任意一个元素 g∈Gg \in G 和正整数 x∈N∗x \in \N ^ *，定义 gx=gx−1g,g−x=g−x+1g−1,g0=eg ^ x = g ^ {x - 1}g, g ^ {-x} = g ^ {-x + 1}g ^ {-1}, g ^ 0 = e。
可以得到 ∀a,b∈Z,gagb=gab,(ga)b=gab\forall a, b \in \Z, g ^ a g ^ b = g ^ {ab}, (g ^ a) ^ b = g ^ {ab}。

群的基本性质

性质 1：对于原群 GG，左单位元等于右单位元。

证明：

若存在左单位元 a∈G,∀g∈G,ag=ga \in G, \forall g \in G, ag = g，也存在右单位元 b∈G,∀g∈G,gb=gb \in G, \forall g \in G, gb = g，则 ab=a=bab = a = b。

□\square

由此可知，一个原群的单位元唯一。

性质 2：对于幺半群 GG，左逆元等于右逆元。

证明：

若 gg 存在左逆元 aa 使得 ag=eag = e，也存在右逆元 bb 使得 bg=ebg = e，则 (ag)b=b=a(gb)=a(ag)b = b = a(gb) = a。

□\square

性质 3：对于群 GG，其满足消去律：∀a,b,c∈G,ab=ac  ⟺  b=c\forall a, b, c \in G, ab = ac \iff b = c。

证明考虑左乘一个 a−1a^{-1}。同理有 ba=ca  ⟺  b=cba = ca \iff b = c。

性质 4：对于群 GG 的每个元素，有且仅有单位元满足与之相乘结果为其本身。

重排定理

重排定理：对于群 GG，∀g∈G,gG={gu∣u∈G}=G,Gg={ug∣u∈G}=G\forall g \in G, gG = \{gu \mid u \in G\} = G, Gg = \{ug \mid u \in G\} = G。

证明：

只需证 a∈G  ⟺  a∈gGa \in G \iff a \in gG。
若 a∈Ga \in G，则 g−1a∈Gg ^ {-1} a \in G，所以 a=gg−1a∈gGa = g g ^ {-1} a \in gG。
若 a∈gGa \in gG，则 ga∈gGg a \in gG，所以 a=g−1ga∈Ga = g ^ {-1} g a \in G。

□\square

同理可证第二条。

子群

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